【2018·于新华·南京讲座】学习笔记——“12345”模型及应用举例

引   言

在学习三角函数时，我们 不少老师或者学生都遇到过这样一个题目：

如图，正方形网格中，点A、B、C是网格上的点，则∠ABC=____.

连接AC，不难发现三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC=45°。重新审视这道题，如图改造一下，

我们发现：

，

这，就是我们今天要给大家分享的“1 2 3 4 5 ”模型之一。即：

.

更多结论，请继续往下看：

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题外话

      值此南京于新华老师专场（8月5-6）结束之际 ，应一些朋友的要求，把去年暑假整理的关于“12345”模型的文档分享出来，一起交流学习！在此特别感谢常州特级教师于新华老师的无私奉献，是他引领了一批数学行者领略数学的别样精彩，感受数学的独特魅力，他的每一场讲座都让人震撼，惊叹数学思维的精妙，一些独特的解法，在确定性思维的引领之下又是显得如此的自然，灵动。他的两本巨作，《数学世界漫游记》用通俗的语言介绍初等数学研究中的丰硕成果，《于新华中考数学16讲》是于老师结合二十多年教学、辅导和命题经验编撰而成，这两本都是不可多得的数学资料。

本文是黄萍老师去年暑假整理的2012年到2017 的南通中考题和17年南通各县市的模考题，发现几乎每份试卷中总有那么一题，甚至几题，而且大多是压轴题，均可以用“12345”来解决.并且你将会发现它所带来的神奇！那么究竟什么是“12345”模型呢？下面主要从两方面来谈谈.一、“12345”的由来；二、“12345”在中考题中的运用.

一、“12345”的由来( 于新华老师）

首先请大家思考这样一个问题：

我们如何刻画一个角大小呢？

角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）.

如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来.但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画.

虽然，学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式，但现在讨论的背景是初中数学教学，因此我们应回避用高中数学知识.

大家都知道，一般处理三角函数都是把要求的角构造在一个直角三角形中处理的。而在所有的直角三角形中，我们最熟悉的就是边长为345的直角三角形.而它在一些综合题中也是频频出现。可能是命题人为了突出考查数学的思维能力，简化运算量，在设计数据时比较多地用到了345或其倍数.而且两个锐角的半角表示也极其简单！请看：

对于这个直角三角形，只要给定边，我们很容易知道两个锐角∠A、∠B的三角函数。大家也会很快构造出它们的半角，从而求出其三角函数：

为了形象好记，便于交流，网络上称之为“12345”. 

二、“12345”在中考题中的运用

1

网格类：

2

折叠类（倍半角）：

3

综合题：

其实，“12345”是处理有关角关系中特殊的一种，面临更一般的两角和差倍分是否有其通法呢？如2014南通压轴题：

这就是网络上所说的“矩形大法”.利用这个矩形构造可以解决所有已知两角的和差.如果有机会我们再一起研讨它的构造与实际运用.

以上所列举的题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题，而不必死掉过多的脑细胞.毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的.

如果大家感兴趣的话，可以做做下面几题，感受一下“12345”在解决一些压轴题中的作用.

声明：

本文以上内容经原作者授权转载。

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